给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2:

输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3:

输入: amount = 10, coins = [10] 
输出: 1

注意

你可以假设：

• 0 <= amount (总金额) <= 5000
• 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
• 硬币种类不超过 500 种
• 结果符合 32 位符号整数

Solution

• 完全背包问题
• dp[i] [j] 表示若只使用前 i 个物品，当背包容量为 j 时，有 dp[i] [j] 种方法可以装满背包。

# @lc code=start
class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        n=len(coins)
        dp = [[0 for _ in range(amount+1)] for _ in range(n+1)]
        for i in range(n+1):
            dp[i][0] = 1
        
        for i in range(1, n+1):
            for j in range(1, amount+1):
                if j-coins[i-1]>=0:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-coins[i-1]]
                else:
                    dp[i][j]=dp[i-1][j]
        return dp[n][amount]
# @lc code=end

参考 代码随想录

参考 关于完全背包，你该了解这些！

• 纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数。
• dp[j] （考虑coins[i]的组合总和） 就是所有的dp[j - coins[i]]（不考虑coins[i]）相加。
• 本题要求凑成总和的组合数，元素之间要求没有顺序。所以需要考虑遍历顺序。

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); ++i) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; ++j) {
                dp[j] += dp[j-coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。

• 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
• 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。