给定一个非负整数数组，a1, a2, …, an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例：

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
输出：5
解释：

-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3

一共有5种方法让最终目标和为3。

提示：

• 数组非空，且长度不会超过 20 。
• 初始的数组的和不会超过 1000 。
• 保证返回的最终结果能被 32 位整数存下。

Solution

参考：《算法小抄》2.19

• 递归算法，超时

# @lc code=start
class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], S: int) -> int:
        if len(nums)==0: return 0
        def backtrack(nums, i, rest):
            result=0
            if i==len(nums):
                if rest==0:
                    return 1
                return 0
            rest += nums[i]  # 选择 - 号
            result+= backtrack(nums, i+1, rest)
            rest -= nums[i]
            
            rest -= nums[i]  # 选择 + 号
            result+=backtrack(nums, i+1, rest)
            rest += nums[i]
            return result

        return backtrack(nums, 0, S)
# @lc code=end

参考 carlsun-2

• 转换成 0-1 背包问题

  把所有符号为正的数总和设为一个背包的容量，容量为x；把所有符号为负的数总和设为一个背包的容量，容量为y。在给定的数组中，有多少种选择方法让背包装满。令sum为数组的总和，则x+y = sum。而两个背包的差为S,则x-y=S。从而求得x=(S+sum)/2。
  基于上述分析，题目转换为背包问题：给定一个数组和一个容量为x的背包，求有多少种方式让背包装满。

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int n = nums.size();
        int sumAll = 0;
        for(int num : nums)
            sumAll += num;
        if(sumAll<S || (sumAll+S)%2==1)
            return 0;
        
        int sum = (sumAll+S)/2;
        vector<int> dp(sum+1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i=0; i<n; ++i){
            for(int j=sum; j>=nums[i]; --j)
                dp[j] += dp[j-nums[i]];
        }
        return dp[sum];
    }
};