一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

Solution

参考 代码随想录

• 动态规划

• 借助 dp 数组

// @lc code=start
class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        dp[0][0] = 1;

        // 填充第一列
        for(int i=1; i<m; ++i)
            dp[i][0] = dp[i-1][0];
        // 填充第一行
        for(int j=1; j<n; ++j)
            dp[0][j] = dp[0][j-1];
        // 填充其余
        for(int i=1; i<m; ++i){
            for(int j=1; j<n; ++j)
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};
// @lc code=end

• 状态压缩

// 自顶向下
class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<int> dp(n, 1);
        for(int i=1; i<m; ++i){
            for(int j=1; j<n; ++j)
                dp[j] += dp[j-1];
        }
        return dp[n-1];
    }
};

• 深度优先搜索，超时
• 时间复杂度 O(2^(m + n - 1) - 1)

class Solution {
private:
    int dfs(int i, int j, int m, int n) {
        if (i > m || j > n) return 0; // 越界了
        if (i == m && j == n) return 1; // 找到一种方法，相当于找到了叶子节点
        return dfs(i + 1, j, m, n) + dfs(i, j + 1, m, n);
    }
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        return dfs(1, 1, m, n);
    }
};