跳表（Skiplist）是一个特殊的链表，相比一般的链表，有更高的查找效率，可比拟二叉查找树，平均期望的查找、插入、删除时间复杂度都是O(logn)，许多知名的开源软件（库）中的数据结构均采用了跳表这种数据结构。

• Redis中的有序集合zset
• LevelDB、RocksDB、HBase中Memtable
• ApacheLucene中的TermDictionary、Posting List

跳跃链表的最大优势在于无论是查找、插入和删除都是O(logn)，不过由于跳跃链表的操作是基于概率形成的，那么它操作复杂度大于O(logn)的概率为，可以看出当n越大的时候失败的概率越小。

跳跃链表的空间复杂度的期望为O(n)，链表的层数期望为O(logn).

跳表的结构

跳跃表由多条链构成（L0，L1，L2 ……，Lh），且满足如下三个条件：

• 每条链必须包含两个特殊元素：+∞ 和 -∞(其实不需要)
• L0包含所有的元素，并且所有链中的元素按照升序排列。
• 每条链中的元素集合必须包含于序数较小的链的元素集合。

性质：

一种插入、查询、删除时间效率为O(logn)，空间效率为O(n) 的数据结构。

数据结构：

struct node
{
	int key;
	struct node *forward[MAXlevel];
};
// MAXlevel可以是log(n)/log(2)

高度控制策略

跳表高度控制的策略，有如下两种：

1. 限制最大高度：插入算法中限制跳表的最大高度，h=max{10, 3* RoundUp(logn)}，当超过最大高度的时候，即使随机函数值为1也不能继续在 Tower上Append Entry了。边界情况，当RoundUP（logn） <RoundUp(log(n+1))，仍然可以append一次。
2. 不限制最大高度：插入算法中不限制跳表的最大高度，以随机函数的值来确定是否继续在Tower上Append Entry。（后面会给出高度>log(n)的概率推导，概率是非常低的，所以这种方法也能Work）

查找：

在跳跃表中查找一个元素x，按照如下几个步骤进行：

1. 从最上层的链（Lh）的开头开始

2. 假设当前位置为p，它向右指向的节点为q（p与q不一定相邻），且q的值为y。将y与x作比较

   (1) x=y 输出查询成功及相关信息

   (2) x>y 从p向右移动到q的位置

   (3) x<y 从p向下移动一格

3. 如果当前位置在最底层的链中（L0），且还要往下移动的话，则输出查询失败

插入：

向跳跃表中插入一个元素，相当于在表中插入一列从S0中某一位置出发向上的连续一段元素。有两个参数需要确定，即插入列的位置以及它的“高度”。

• 关于插入的位置，我们先利用跳跃表的查找功能，找到比x小的最大的数y。根据跳跃表中所有链均是递增序列的原则，x必然就插在y的后面。

• 插入列的“高度”较前者来说显得更加重要，也更加难以确定。由于它的不确定性，使得不同的决策可能会导致截然不同的算法效率。为了使插入数据之后，保持该数据结构进行各种操作均为O(logn)复杂度的性质，我们引入随机化算法（Randomized Algorithms）。

删除：

删除操作分为以下三个步骤：

1. 在跳跃表中查找到这个元素的位置，如果未找到，则退出
2. 将该元素所在整列从表中删除
3. 将多余的“空链”删除

实现：

/* skiplist */
#include <random>
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXLEVEL 4

// 随机生成level算法
int randomLevel() {
  int k = 1;
  while (rand() % 2) {
    k++;
  }
  k = (k < MAXLEVEL) ? k : MAXLEVEL;
  return k;
}

// node
class node {
 public:
  node(int val, int level) {
    this->val = val;
    this->level = level;
    // 初始化结点指针
    for (int i = 0; i < MAXLEVEL; ++i) {
      forward[i] = nullptr;
    }
  }
  ~node() {}

  int val;
  int level;
  node* forward[MAXLEVEL]; // 指向node*的数组
};

// skiplist
class skiplist {
 public:
  skiplist() {
    max_length = 0;
    // 初始化head为一个MAXLEVEL的结点，虚拟头结点
    node* p = new node(0, MAXLEVEL);
    head = p;
  }

  // insert 所有方法都是跳过第一个结点
  void insert(int val) {
    int level = randomLevel();
    if (head == nullptr) {
      // 第一个结点高度为maxlevel
      node* p = new node(val, MAXLEVEL);
      head = p;
      max_length++;
    }
    else {
      node* cur = head;
      node* p = new node(val, level);
      // 保存每一层插入的最近前结点
      node* last[MAXLEVEL];
      for (int i = MAXLEVEL-1; i >= 0; --i) {
        // 在第i层找到最后一个比val小的结点
        while (cur->forward[i] != nullptr && cur->forward[i]->val < val) {
          cur = cur->forward[i];
        }
        last[i] = cur;
      }
      // 找到插入位置
      if (cur->forward[0] == nullptr) {
	    max_length++;
        // 插入到最后
        for (int i = p->level - 1; i >= 0; --i) {
          last[i]->forward[i] = p;
        }
      } else if (cur->forward[0]->val > val) {
        max_length++;
        // 插入到中间
        for (int i = p->level - 1; i >= 0; --i) {
          p->forward[i] = last[i]->forward[i];
          last[i]->forward[i] = p;
        }
      }
    }
  }

  // search，从最高level开始
  void search(int val) {
    node* cur = head;
    for (int i = MAXLEVEL-1; i >= 0; --i) {
      while (cur->forward[i] != nullptr && cur->forward[i]->val < val) {
        cur = cur->forward[i];
      }
      if (cur->forward[i] != nullptr && cur->forward[i]->val == val) {
        cout << "search val = " << val << endl;
      }
    }
    cout << "not find val = " << val << endl;
  }

  // delete，方法同insert相同
  void del(int val) {
    node* cur = head;
    node* target = nullptr;
    node* last[MAXLEVEL];
    // 找到结点，并保存前结点
    for (int i = MAXLEVEL-1; i >= 0; --i) {
      while (cur->forward[i] != nullptr && cur->forward[i]->val < val) {
        cur = cur->forward[i];
      }
      last[i] = cur;
      if (cur->forward[i] != nullptr && cur->forward[i]->val == val) {
        target = cur->forward[i];
      }
    }
    if (target != nullptr) {
      // 执行删除
      for (int i = target->level - 1; i >= 0; --i) {
        last[i]->forward[i] = target->forward[i];
      }
      delete(target);
      --max_length;	
      cout << "delete val = " << val << endl;
    }
  }

  int get_max_length() {
    return max_length;
  }

  // print
  void print() {
    for (int i = MAXLEVEL-1; i >= 0; --i) {
      node* cur = head;
      while (cur->forward[i]) {
        cur = cur->forward[i];
        cout << cur->val << " --> ";
      }
      cout << endl;
    }
  }

 private:
  node* head; // 指向跳表头结点
  int max_length; // 计算跳表的最大结点个数
};


int main() {
  skiplist sk1;
  sk1.insert(3);
  sk1.insert(7);
  sk1.insert(4);
  sk1.insert(6);
  sk1.insert(5);
  sk1.insert(-1);
  sk1.del(4);
  sk1.insert(6);
  sk1.search(8);
  sk1.del(8);
  sk1.print();
  return 0;
}

补充：

【问题】在Redis中，zset 是如何实现的？

当有序集合的结点个数 > 128 或者任意节点的 value 值 > 64 时，才会使用 skiplist 存储，否则使用 ziplist(字节数组) 存储。

【问题】Redis中，节点的层数如何确定？

限定最高层级。

#define ZSKIPLIST_MAXLEVEL 32
int zslRandomLevel(void) {
    int level = 1;
    while ((random() & 0xFFFF) < (ZSKIPLIST_P * 0xFFFF))
        level += 1;
    return (level < ZSKIPLIST_MAXLEVEL) ? level : ZSKIPLIST_MAXLEVEL;
}

参考：

https://mp.weixin.qq.com/s/6rVgWdb8wG9d-xInkguv_w

https://blog.csdn.net/u013011841/article/details/39158585

https://blog.csdn.net/weixin_44866921/article/details/108956004

https://blog.csdn.net/weixin_45827856/article/details/103254965